Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b，為實(shí)數(shù)），F(xiàn)（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

．
（1）若f（-1）=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x≥0）成立，求F（x）表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，知b=a+1．由f（x）≥0恒成立，知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，由此能求出F（x）表達(dá)式．
（2）由f（x）=x²+2x+1，知g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．由于g（x）在[-3，3]上是單調(diào)函數(shù)，能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴b=a+1．
由f（x）≥0恒成立，
知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1．
從而f（x）=x²+2x+1．
∴F（x）=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

．
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．
由于g（x）在[-3，3]上是單調(diào)函數(shù)，
知-

2-k

2

≤-3或-

2-k

2

≥3，
解得k≤-4或k≥8．

點(diǎn)評(píng)：本昰考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．