Question

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b，c的值；
(Ⅱ)求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)x＜1時(shí)，，
依題意，得，即，
解得b=c=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
①當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，，
令f′(x)=0得x=0或，
x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

又，
∴f(x)在[-1，1）上的最大值為2； 
②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)=alnx，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f(x)在[1，2]的最大值為aln2；
綜上所述，當(dāng)aln2≤2，即時(shí)，f(x)在[-1，2]上的最大值為2；
當(dāng)aln2＞2，即時(shí)，f(x)在[-1，2]上的最大值為aln2。
(Ⅲ)假設(shè)曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P，Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P，Q只能在y軸的兩側(cè)，
不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則，顯然t≠1，
∵△POQ為直角三角形，
∴，即，①
是否存在P，Q等價(jià)于方程①是否有解，
若0＜t＜1，則f(t)=-t³+t²，代入①式得，-t²+(-t³+t²)(t³+t²)=0，
即t⁴-t²+1=0，而此方程無實(shí)數(shù)解，因此t＞1，
∴f(t)=alnt，代入①式得，-t²+(alnt)(t³+t²)=0，即=(t+1)lnt，(*) 
考察函數(shù)h(x)=(x+1)lnx(x≥1)，則h′(x)=lnx++1＞0，
∴h(x)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t＞1，
∴h(t)＞h(1)=0，當(dāng)t→+∞時(shí)，h(t)→+∞，
∴h(t)的取值范圍為(0，+∞)，
∴對(duì)于a＞0，方程(*)總有解，即方程①總有解，
因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)P，Q使得△POQ是以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上。