Question

求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

剖析:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(亦即判斷函數(shù)的單調(diào)性)，一般有三種方法:

    (1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調(diào)性(一增一減）也難以確定，故只有用單調(diào)性定義來確定，即判斷f(x₂)-f(x₁)的正負.

解:首先確定定義域:{x|x≠0},

    ∴在(-∞,0)和(0，+∞)兩個區(qū)間上分別討論.任取x₁、x₂∈(0,+∞)且x₁＜x₂,則f(x₂)-f(x₁)=x₂+-x₁-=(x₂-x₁)+=(x₂-x₁)(1-)，要確定此式的正負只要確定1-的正負即可.

    這樣，又需要判斷大于1，還是小于1.由于x₁、x₂的任意性，考慮到要將(0，+∞)分為(0，1)與(1，+∞)(這是本題的關鍵).

    (1)當x₁、x₂∈(0,1)時，1-＜0,

    ∴f(x₂)-f(x₁)＜0為減函數(shù).

    (2)當x₁、x₂∈(1,+∞)時，1-＞0,

    ∴f(x₂)-f(x₁)＞0為增函數(shù).

    同理可求(3)當x₁、x₂∈(-1,0)時，為減函數(shù);(4)當x₁、x₂∈(-∞,-1)時，為增函數(shù).

講評:解答本題易出現(xiàn)以下錯誤結論:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是減函數(shù)，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函數(shù)，或說f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).避免錯誤的關鍵是要正確理解函數(shù)的單調(diào)性概念:函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相交區(qū)間的并.