【題目】已知函數(shù),

(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,求的值;

(3)設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點,線段的中點為,直線的斜率為,證明:.

【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是;(2)(3)見解析.

【解析】

試題(1)求出的導數(shù),導數(shù)大于,即可求函數(shù)的增區(qū)間;

(2)對進行分類討論,分別求出各種情況下的函數(shù)在上的最小值令其為,解方程求得的值;

(3)對于當時,先把具體出來,然后求導函數(shù),得到,在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式,利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

試題解析: (1)解:,則,

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

(2)解:在上,分如下情況討論:

1.當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,其最小值為,這與函數(shù)在上的最小值是相矛盾;

2.當時,函數(shù)單調(diào)遞增,其最小值為,同樣與最小值是相矛盾;

3.當時,函數(shù)上有,單調(diào)遞減,在上有,單調(diào)遞增,

∴函數(shù)的最小值為,得

4.當時,函數(shù)上有,單調(diào)遞減,其最小值為,與最小值是相矛盾;

5.當時,顯然函數(shù)上單調(diào)遞減,其最小值為與最小值是相矛盾.

綜上所述,的值為

(3)證明:當時,,

,不妨設(shè),要比較的大小,

即比較的大小,又因為,

所以即比較的大。

,則上是增函數(shù).

,∴,,即

練習冊系列答案
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了200人進行抽樣分析,得到下表(單位:人):

經(jīng)常使用

偶爾或不用

合計

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?

(2)現(xiàn)從所有抽取的30歲以上的網(wǎng)民中利用分層抽樣抽取5人,

求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);

從這5人中,在隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.

參考公式: ,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】已知數(shù)列的前n項和, 是等差數(shù)列,且.

)求數(shù)列的通項公式;

)令.求數(shù)列的前n項和.

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【題目】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1球,求:

(1)取出1球是紅球或黑球的概率;

(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.

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【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統(tǒng)計結(jié)果整理如下:

20以下

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

(Ⅰ)現(xiàn)隨機抽取 1 名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;

(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;

(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.

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【題目】精準扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準扶貧的工作中,準備投入資金將當?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進行二次加工后進行推廣促銷,預計該批產(chǎn)品銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與推廣促銷費萬元之間的函數(shù)關(guān)系為(其中推廣促銷費不能超過5千元).已知加工此農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬元(不包括推廣促銷費用),若加工后的每件成品的銷售價格定為元/件.

(1)試將該批產(chǎn)品的利潤萬元表示為推廣促銷費萬元的函數(shù);(利潤=銷售額-成本-推廣促銷費)

(2)當推廣促銷費投入多少萬元時,此批產(chǎn)品的利潤最大?最大利潤為多少?

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