Question

已知直線l₁：y=3x，l₂：y=

1

2

x，如圖所示，在第一象限內，在l₁上從左至右，從下至上依次取點A₁，A₂，A₃，…，A_n，在l₂上從左至右，從下至上依次取點B₁，B₂，B₃，…，B_n，若記S △A1OB1=S₁，S △A2OB2=S₂，…，S △AnOBn=S_n，…．
（1）求∠A₁OB₁的大小；
（2）再記S △A1OB2=S₁′，S △A2OB1=S₂′，試比較S₁+S₂與S₁′+S₂′的大小關系．
（3）若S₁=1，且S_n+1=1+

1

n

（S₁+S₂+…+S_n），n∈N^*，求四邊形A_n+1B_n+1B_nA_n（n∈N^*）的面積．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用兩條直線的夾角公式求解，（2）利用三角形的面積公式，

1

2

absinθ，（3）兩個三角形面積的差，利用遞推關系式求解，歸納總結的出答案．

解答： 解：（1）∵直線l₁：y=3x，l₂：y=

1

2

x，∴tan∠A₁OB₁=

3- 1 2

1+3× 1 2

=1，
∵∈（0，π），∴∠A₁OB₁=

π

4

，
（2）S △A1OB1=S₁=

1

2

|OA₁||OB₁|×

2

2

=

2

4

×|OA₁|OB₁|，|S △A2OB2=S₂=

2

4

×|OA₂||OB₂|，
S △A1OB2=S₁′=

2

4

×|OA₁|OB₂|，S △A2OB1=S₂′=

2

4

×|OA₂||OB₁|
S₁+S₂-（S₁′+S₂′）=（|OA₁|-|OA₂|）（|OB₁|-|OB₂|）
|OA₁|＜|OA₂|，|OB₁|＜|OB₂|，
（|OA₁|-|OA₂|）（|OB₁|-|OB₂|）＞0，
S₁+S₂＞S₁′+S₂′
（3）S₁=1，且S_n+1=1+

1

n

（S₁+S₂+…+S_n），n∈N^*，
∴S₂=2，S₃=

5

2

，S₄=

17

6

，S₅=

37

12

，
四邊形A₁A₂B₁B₂的面積為2-1=1；
四邊形A₂A₃B₂B₃的面積為

5

2

-2=

1

2

；
四邊形A₃A₄B₃B₄的面積為

17

6

-

5

2

=

1

3

；
四邊形A₄A₅B₄B₅的面積為

37

12

-

17

6

=

1

4

；
歸納推理得四邊形A_n+1B_n+1B_nA_n（n∈N^*）的面積為：

1

n

，

點評：本題考查了學生的歸納猜測能力，運算能力，化簡能力，學會數(shù)學知識的融合．