【題目】試求所有的正數(shù) ,使得在雙曲線的右支上總存在焦點(diǎn)弦,它關(guān)于原點(diǎn)的張角為直角。
【答案】
【解析】
記雙曲線的右焦點(diǎn)為,其中,,設(shè)焦點(diǎn)弦交雙曲線的右支于點(diǎn).
由,得.①
如果,則漸近線的傾角.而雙曲線的右支含于兩漸近線所夾的角形區(qū)域內(nèi),該角形區(qū)域的頂角.此時,雙曲線右支中的任一條弦關(guān)于原點(diǎn)的張角皆小于,不合題意.故.
(1)當(dāng)焦點(diǎn)弦與軸垂直時,若構(gòu)成以為斜邊的直角三角形,則是等腰直角三角形,于是,,(如圖),即點(diǎn)滿足,而.
由,得.
故.
而,則.
(2)當(dāng)焦點(diǎn)弦與軸不垂直時,焦點(diǎn)弦與雙曲線右支的兩個交點(diǎn)具有不同的橫坐標(biāo),
設(shè)的方程為.
將雙曲線的方程改寫為.
則,即. ②
又方程②有兩個不同的正根,則.
由方程②得.
據(jù)式①由
,
即.
注意到,則.③
由于,故.
所以, .
又,由式③得,即.
綜合(1)、(2),的取值范圍是.
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A.360B.400C.420D.480
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【題目】袋中裝著10個外形完全相同的小球,其中標(biāo)有數(shù)字1的小球有1個,標(biāo)有數(shù)字2的小球有2個,標(biāo)有數(shù)字3的小球有3個,標(biāo)有數(shù)字4的小球有4個.
現(xiàn)從袋中任取3個小球,按3個小球上最大數(shù)字的8倍計分,每個小球被取出的可能性都相等,用表示取出的三個小球上的最大數(shù)字,求:
(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)隨機(jī)變量的分布列;
(3)計算介于20分到40分之間的概率.
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【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MB與x軸交于點(diǎn)C,直線MA與y軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),過點(diǎn)A(-4,4)且焦點(diǎn)在x軸.
(1)求拋物線方程;
(2)直線l過定點(diǎn)B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.
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