【題目】試求所有的正數(shù) ,使得在雙曲線的右支上總存在焦點(diǎn)弦,它關(guān)于原點(diǎn)的張角為直角。

【答案】

【解析】

記雙曲線的右焦點(diǎn)為,其中,,設(shè)焦點(diǎn)弦交雙曲線的右支于點(diǎn).

,得.①

如果,則漸近線的傾角.而雙曲線的右支含于兩漸近線所夾的角形區(qū)域內(nèi),該角形區(qū)域的頂角.此時,雙曲線右支中的任一條弦關(guān)于原點(diǎn)的張角皆小于,不合題意.故.

(1)當(dāng)焦點(diǎn)弦軸垂直時,若構(gòu)成以為斜邊的直角三角形,則是等腰直角三角形,于是,(如圖),即點(diǎn)滿足,而.

,得.

.

,則.

(2)當(dāng)焦點(diǎn)弦軸不垂直時,焦點(diǎn)弦與雙曲線右支的兩個交點(diǎn)具有不同的橫坐標(biāo),

設(shè)的方程為.

將雙曲線的方程改寫為.

,即. ②

又方程②有兩個不同的正根,則.

由方程②得.

據(jù)式①由

,

.

注意到,則.③

由于,故.

所以, .

,由式③得,即.

綜合(1)、(2),的取值范圍是.

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