Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求△AOB的重心G的軌跡C的方程．

Answer 1

【答案】分析：依題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線l不垂直于x軸時設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)根據(jù)韋達(dá)定理即可求得x₁+x₂的表達(dá)式，利用直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，設(shè)△AOB的重心為G（x，y），則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)表示出G的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則x和y的關(guān)系可得，進(jìn)而求得其軌跡方程；當(dāng)l垂直于x軸時可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形的重心的坐標(biāo)，代入上邊的所求的方程也適合，綜合可知答案．
解答：解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，
∴k≠0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根據(jù)韋達(dá)定理，有x₁+x₂=，
從而y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=．
設(shè)△AOB的重心為G（x，y），
消去k，得x=+（y）2，
則x==+，y==，
∴y²=x-．
當(dāng)l垂直于x軸時，A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）和（1，-2），△AOB的重心G（，0），也適合y²=x-，
因此所求軌跡C的方程為y²=x-．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．在涉及直線與圓錐曲線問題時，在設(shè)直線方程得時候一定要考慮到斜率不存在的情況．