已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)滿足f(x)極小值=1,f(x)極大值=
31
27
,試求y=f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),設(shè)f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ,若a∈[
3
2
,
3
]且a為常數(shù),求θ的取值范圍.
分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,再利用f(x)極小值=1,f(x)極大值=
31
27
,建立方程,從而可求y=f(x)的解析式;
(2)先求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)a∈[
3
2
,
3
],可確定斜率的范圍,從而可確定傾斜角θ的取值范圍.
解答:解:(1)由f′(x)=-3x2+2ax(a>0),
令f′(x)=0,得x=0或x=
2
3
a.…(1分)
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,0) 0 (0,
2
3
a)
2
3
a
2
3
a,+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) b f(
2
3
a)
∴當(dāng)x=0時(shí),f(x)極小值=f(0)=b=1,當(dāng)x=
2
3
a時(shí),f(x)極大值=-
8
27
a3+
4
9
a3+1
=
31
27
,…(4分)
解得b=1,a=1.
∴f(x)=-x3+x2+1.…(6分)
(2)tanθ=f′(x)=-3x2+2ax=-3(x-
a
3
)
2
+
a2
3
,…(7分)
∵a∈[
3
2
,
3
],
1
2
a
3
3
3

∵x∈[0,1],
∴f′(0)≤f′(x)≤f′(
a
3
).…(10分)
∴0≤f′(x)≤
a2
3
,即0≤tanθ≤
a2
3
,
∵0≤θ≤π,∴θ∈[0,arctan
a2
3
],
∴θ的取值范圍是[0,arctan
a2
3
].…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,解題的關(guān)鍵是明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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