Question

5．已知二階矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，屬于特征值3的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．
（1）求矩陣M；
（2）求直線l：y=2x-1在M作用下得到的新的直線l′方程；
（3）已知向量$\overrightarrow β=[\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}]$，求${M^5}•\overrightarrow β$．

Answer 1

分析 （1）利用特征值、特征向量的定義，建立方程，即可求矩陣M；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是l上任意一點(diǎn)，它在M作用下的對應(yīng)點(diǎn)P′（x′，y′），則有$M[\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{x^/}\\{y^/}\end{array}]$，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求直線l：y=2x-1在M作用下得到的新的直線l′方程；
（3）已知向量$\overrightarrow β=[\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}]$，確定$\overrightarrow β=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$，即可求${M^5}•\overrightarrow β$．

解答 解：（1）設(shè)M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&phlvr1f\end{array}]$，則
∵二階矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，屬于特征值3的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c-3d=3}\\{c+d=3}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=1，c=3，d=0，
∴A=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$…（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是l上任意一點(diǎn)，它在M作用下的對應(yīng)點(diǎn)P′（x′，y′），則有$M[\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{x^/}\\{y^/}\end{array}]$…（6分）
所以得$\left\{\begin{array}{l}2{x_0}+{y_0}={x^/}\\ 3{x_0}={y^/}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{y^/}{3}\\{y_0}={x^/}-\frac{{2{y^/}}}{3}\end{array}\right.$…（8分）
因?yàn)镻（x₀，y₀）在l上，所以y₀=2x₀-1即${x^/}-\frac{{2{y^/}}}{3}=2×\frac{y^/}{3}-1$化簡得：3x′-4y′+3=0
所以所求直線l′的方程為3x-4y+3=0…（10分）
（3）設(shè)特征值λ₁=-1時，對應(yīng)特征向量$\overrightarrow{e_1}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，λ₂=3時，對應(yīng)特征向量$\overrightarrow{e_2}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．
設(shè)$\overrightarrow β=s\overrightarrow{e_1}+t\overrightarrow{e_2}$即解得$[\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}]=s×[\begin{array}{l}1\\-3\end{array}]+t×[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$解得s=1，t=3，所以$\overrightarrow β=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$…（12分）∴${M^5}•\overrightarrow β={M^5}（\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}）={M^5}\overrightarrow{e_1}+3×{M^5}\overrightarrow{e_2}=λ_1^5×\overrightarrow{e_1}+3×λ_2^5×\overrightarrow{e_2}$=${1^5}•[\begin{array}{l}1\\-3\end{array}]+3×{3^5}•[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=[\begin{array}{l}{3^6}+1\\{3^6}-3\end{array}]=[\begin{array}{l}730\\ 726\end{array}]$…（16分）

點(diǎn)評 本題考查特征值、特征向量的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．