【題目】如圖,是底面邊長為1的正三棱錐,
分別為棱長
上的點,截面
底面
,且棱臺
與棱錐
的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1)證明:為正四面體;
(2)若,求二面角
的大小;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設棱臺的體積為
,是否存在體積為
且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺
有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.
(注:用平行于底的截面截棱錐,該截面與底面之間的部分稱為棱臺,本題中棱臺的體積等于棱錐的體積減去棱錐
的體積.)
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)存在,證明見解析.(注:所構(gòu)造直平行六面體不唯一,只需題目滿足要求即可)
【解析】
(1)根據(jù)棱長和相等可知,根據(jù)面面平行關系和棱錐為正三棱錐可證得
,進而證得
各棱長均相等,由此得到結(jié)論;(2)取
的中點
,連接
,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和線面垂直判定定理可證得
平面
,由線面垂直性質(zhì)可知
,從而得到
即為所求二面角的平面角;易知
,從而得到
,在
中根據(jù)長度關系可求得
,從而得到結(jié)果;(3)設直平行六面體的棱長均為
,底面相鄰兩邊夾角為
,根據(jù)正四面體
體積為
,可驗證出
;又所構(gòu)造六面體體積為
,知
,只需滿足
即可滿足要求,從而得到結(jié)果.
(1)棱臺
與棱錐
的棱長和相等
平面
平面
,三棱錐
為正三棱錐
為正四面體
(2)取的中點
,連接
,
,
平面
,
平面
平面
為二面角
的平面角
由(1)知,各棱長均為
為
中點
即二面角的大小為:
(3)存在滿足題意的直平行六面體,理由如下:
棱臺的棱長和為定值
,體積為
設直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為
則該六面體棱長和為,體積為
正四面體
體積為:
時,滿足要求
故可構(gòu)造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為
的直平行六面體即可滿足要求
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)探究函數(shù)在
上的單調(diào)性;
(2)若關于的不等式
在
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲乙兩個同學進行定點投籃游戲,已知他們每一次投籃投中的概率均為,且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學決定投5次,乙同學決定投中1次就停止,否則就繼續(xù)投下去,但投籃次數(shù)不超過5次.
(1)求甲同學至少有4次投中的概率;
(2)求乙同學投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某示范性高中的校長推薦甲、乙、丙三名學生參加某大學自主招生考核測試,在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等級.若考核為合格,授予10分降分資格;考核為優(yōu)秀, 授予20分降分資格.假設甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、
、
,他們考核所得的等級相互獨立.
(1)求在這次考核中,甲、乙、丙三名學生至少有一名考核為優(yōu)秀的概率;
(2)記在這次考核中甲、乙、丙三名學生所得降分之和為隨機變量ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨即抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量(單位:克)重量的分組區(qū)間為
,
,……
,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量.
(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取
件,設
為重量超過
克的產(chǎn)品數(shù)量,求
的分布列.
(3)從流水線上任取件產(chǎn)品,求恰有
件產(chǎn)品合格的重量超過
克的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,不過原點的直線
與橢圓交于A、B兩點.
(1)求面積的最大值.
(2)是否存在橢圓,使得對于橢圓
的每一條切線與橢圓
均相交,設交于A、B兩點,且
恰取最大值?若存在,求出該橢圓;若不存在,說明理由.
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