已知函數(shù)f(x)=xaln x(a∈R).

(1)當(dāng)a=2時,求曲線yf(x)在點A(1, f(1))處的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)的極值.


解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞), f ′(x)=1-.

(1)當(dāng)a=2時, f(x)=x-2ln x, f ′(x)=1-(x>0),

因而f(1)=1, f ′(1)=-1,

所以曲線yf(x)在點A(1, f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),

xy-2=0.

(2)由f ′(x)=1-x>0知:

①當(dāng)a≤0時, f ′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;

②當(dāng)a>0時,由f ′(x)=0,解得xa,

又當(dāng)x∈(0,a)時, f ′(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時, f ′(x)>0,

從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值,且極小值為f(a)=aaln a,無極大值.

綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;

當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a,無極大值.


練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=>3a2,則a的取值范圍是________.

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當(dāng)0<x<1時,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2,則f(x),g(x),h(x)的大小關(guān)系是______.

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設(shè)函數(shù)f(x)=cln xx2bx(bc∈R,c≠0),且x=1為f(x)的極值點.

(1)若x=1為f(x)的極大值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用c表示);

(2)若f(x)=0恰有兩解,求實數(shù)c的取值范圍.

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若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有最小值,則實數(shù)b的取值范圍是(  )

A.(0,1)  B.(-∞,1)  C.(0,+∞)  D.

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曲線y在點(-1,-1)處的切線方程為(  )

A.y=2x+1                             B.y=2x-1

C.y=-2x-3                           D.y=-2x-2

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已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),則f ′(0)=________.

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 (x3+1)dx的值為________.

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f(x)是奇函數(shù),且x0yf(x)+ex的一個零點,則-x0一定是下列哪個函數(shù)的零點(  )

A.yf(-x)ex-1                       B.yf(x)ex+1

C.y=exf(x)-1                         D.y=exf(x)+1

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