【題目】將邊長為3的正的各邊三等分,過每個(gè)分點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線,稱的邊及這些平行線所交的10個(gè)點(diǎn)為格點(diǎn).若在這10個(gè)格點(diǎn)中任取個(gè)格點(diǎn),一定存在三個(gè)格點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形(包括正三角形).求的最小值.
【答案】5
【解析】
設(shè).
設(shè)邊上從點(diǎn)到的兩個(gè)等分點(diǎn)分別為、,邊上從點(diǎn)到的兩個(gè)等分點(diǎn)分別為、,邊上從點(diǎn)到的兩個(gè)等分點(diǎn)分別為、,中間的一個(gè)格點(diǎn)為.
若的最小值為4,取格點(diǎn)、、、,則不存在三個(gè)格點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
因此,.
下面證明:任取五個(gè)格點(diǎn),一定存在三個(gè)格點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
不妨假設(shè)被選取的點(diǎn)為紅點(diǎn).
只要證明:一定存在一個(gè)由紅點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形.
若這五個(gè)紅點(diǎn)中包含格點(diǎn),將其他九個(gè)格點(diǎn)分成三個(gè)點(diǎn)集.
由抽屜原理知,一定存在一個(gè)點(diǎn)集中包含至少兩個(gè)紅點(diǎn),無論是哪個(gè)點(diǎn)集中的哪兩個(gè)格點(diǎn)是紅點(diǎn),均與紅點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
若這五個(gè)紅點(diǎn)中不包含格點(diǎn),當(dāng)格點(diǎn)是紅點(diǎn)時(shí),在,中,如果有一個(gè)點(diǎn)集中包含兩個(gè)紅點(diǎn),則結(jié)論成立;否則,每個(gè)點(diǎn)集中均恰有一個(gè)紅點(diǎn).
不妨假設(shè)為紅點(diǎn),則不是紅點(diǎn).
若為紅點(diǎn),則、不是紅點(diǎn),于是,是紅點(diǎn),且無論、是哪個(gè)是紅點(diǎn),均與、構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
若不是紅點(diǎn),則為紅點(diǎn),于是,不是紅點(diǎn),是紅點(diǎn),無論哪個(gè)是紅點(diǎn),均可與或構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
同理,當(dāng)格點(diǎn)或?yàn)榧t點(diǎn)時(shí),結(jié)論仍然成立.
若、、、均不是紅點(diǎn),則、、、、、中有五個(gè)紅點(diǎn),結(jié)論顯然成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長度.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;
(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
②證明:.
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【題目】如圖,正三棱柱中,(底面為正三角形,側(cè)棱垂直于底面),側(cè)棱長,底面邊長,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)是線段的中點(diǎn),求直線與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù);②在區(qū)間上單調(diào)遞增;③最大值為;④在上有四個(gè)零點(diǎn),其中正確命題的序號是_______.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知與直線平行的直線過點(diǎn),且與曲線交于兩點(diǎn),試求.
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【題目】 某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品,在自動包裝傳送帶上,每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品,稱其重量是否合格,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位:千克):
甲車間:102,101,99,98,103,98,99.
乙車間:110,115,90,85,75,115,110.
(1)這種抽樣方式是何種抽樣方法;
(2)試根據(jù)這組數(shù)據(jù)說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)求y=sinA-sinC的取值范圍.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)文化的優(yōu)秀遺產(chǎn),數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí),發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊行的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形的面積可無限逼近圓的面積,為此他創(chuàng)立了割圓術(shù),利用割圓術(shù),劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后四位3.1416,后人稱3.14為徽率,如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖,若結(jié)束程序時(shí),則輸出的為( )(,,)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
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【題目】若存在實(shí)常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足:和恒成立,則稱此直線為和的“隔離直線”,已知函數(shù),,,下列命題為真命題的是( )
A.在內(nèi)單調(diào)遞減
B.和之間存在“隔離直線”,且的最小值為
C.和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是
D.和之間存在唯一的“隔離直線”
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