Question

如圖（1）是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點(diǎn)．正三棱柱的主視圖如圖（2）．
（Ⅰ） 圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪幾個(gè)？（直接寫(xiě)出符合要求的平面即可，不必說(shuō)明或證明）
（Ⅱ）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（Ⅲ）證明：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)直棱柱的定義，可以判斷底面與側(cè)面垂直，再結(jié)合面面垂直的判定定理，可以判斷過(guò)AD的平面均與側(cè)面BCC₁B₁垂直，由此即可得到答案．
（II）由已知中的主視圖中標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，易判斷棱柱的高為3，棱柱底面的高AD=

3

，則此計(jì)算出棱柱的底面積和高，代入即可得到棱柱的體積．
（III）連接A₁C，利用三角形中位線定理，易得到面內(nèi)一線與面外一線平面，進(jìn)而得到線面平行．

解答：
解：（Ⅰ）平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D．（3分）（每對(duì)1個(gè)給1分）
（Ⅱ）依題意，在正三棱柱中，AA₁=3，AD=

3

，從而B(niǎo)C=2．（5分），
所以正三棱柱的體積V=Sh=

1

2

×BC×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．（7分）．
（Ⅲ）連接A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=E，連接DE，
因?yàn)锳A₁C₁C是正三棱柱的側(cè)面，所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點(diǎn)，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B．（10分）
因?yàn)镈E?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積公式，線面平行的判斷，其中熟練掌握棱柱的幾何特征，掌握線面關(guān)于的判定定理，是解答本題的關(guān)鍵．