Question

3．若函數f（x）=${（{1+sinx}）^{10}}+{（{1-sinx}）^{10}}，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，則其最大值為1024．

Answer 1

分析 求出函數的導數f′（x）=10（1+sinx）⁹cosx-10（1-sinx）⁹cosx，利用函數單調性及奇偶性可求解．

解答 解：f′（x）=10（1+sinx）⁹cosx-10（1-sinx）⁹cosx，
令f′（x）=0⇒（1+sinx=1-sinx或cosx=0⇒x=0或x=±$\frac{π}{2}$，
當x$∈[0，\frac{π}{2}]$時，f′（x）＞0，
函數f（x）為增函數，則其最大值f（$\frac{π}{2}$）=2¹⁰=1024，
又因為函數f（x）為偶函數，其圖象關于y軸對稱，所以函數f（x）最大值1024．
故答案為：1024

點評 本題考查了利用函數的導數、函數單調性及奇偶性，屬于中檔題．