(本小題滿分14分)如圖,已知直線OP1,OP2為雙曲線E:的漸近線,△P1OP2的面積為,在雙曲線E上存在點P為線段P1P2的一個三等分點,且雙曲線E的離心率為.

(1)若P1、P2點的橫坐標分別為x1x,則x1、x2之間滿足怎樣的關系?并證明你的結論;

(2)求雙曲線E的方程;

(3)設雙曲線E上的動點,兩焦點,若為鈍角,求點橫坐標的取值范圍.

 

【答案】

(1)∴x1·x2;(2)=1;(3)-,-2)∪(2,)

【解析】

試題分析:(1)設雙曲線方程為=1,由已知得

    ∴  ∴漸近線方程為y=±x   …………2分

P1(x1,x1P2(x,-x2)

設漸近線yx的傾斜角為θ,則tanθ ∴sin2θ

|OP1||OP2|sin2θ·

x1·x2                                              …………5分

(2)不妨設P所成的比為λ=2,P(xy), 則

x y   

x1+2x2=3x x1-2x2=2y                                    …………7分

∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36  

=1 即為雙曲線E的方程                                …………9分

(3)由(2)知C,∴F1(-,0) F2(,0) 設M(x0,y0)

yx-9,=(--x0,-y0=(x0,-y0)

·x-13+yx-22                     …………12分

若∠F1MF2為鈍角,則x-22<0

∴|x0|< 又|x0|>2

x0的范圍為(-,-2)∪(2,)            ……14分

考點:本題考查了雙曲線的方程、性質及數(shù)量積的運用

點評:本題主要考查雙曲線的標準方程和性質、數(shù)量積的應用等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法

 

練習冊系列答案
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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
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(3)記,求數(shù)列{}的前n項和,并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關于第天的函數(shù)關系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求滿足的關系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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