Question

將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=

(梯形的周長)2

梯形的面積

，則S的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先設剪成的小正三角形的邊長為x表示出S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：對函數(shù)S進行求導，令導函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性進而確定最小值；
方法二：令3-x=t，代入整理根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值．

解答：解：設剪成的小正三角形的邊長為x，則：S=

(3-x)2

1 2 •(x+1)• 3 2 •(1-x)

=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

(0＜x＜1)
（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值．S(x)=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

，
S′(x)=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

S′(x)=0，0＜x＜1，x=

1

3

，
當x∈(0，

1

3

]時，S′（x）＜0，遞減；當x∈[

1

3

，1)時，S′（x）＞0，遞增；
故當x=

1

3

時，S的最小值是

32 3

3

．
（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值．
令3-x=t，t∈(2，3)，

1

t

∈(

1

3

，

1

2

)，
則：S=

4

3

•

t2

-t2+6t-8

=

4

3

•

1

- 8 t2 + 6 t -1

故當

1

t

=

3

8

，x=

1

3

時，S的最小值是

32 3

3

．

點評：考查函數(shù)中的建模應用，等價轉(zhuǎn)化思想．一題多解．