Question

2．已知焦點(diǎn)均在x軸上的雙曲線C₁，與雙曲線C₂的漸近線方程分別為y=土k₁x 與y=±k₂x，記雙曲線C₁的離心率e₁，雙曲線C₂的離心率e₂，若k₁k₂=1，則e₁e₂的最小值為2．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出兩雙曲線方程，求得e₁，e₂，然后利用基本不等式求得e₁e₂的最小值．

解答 解：由題意可設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），C₂：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
則${e}_{1}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，${e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∴${e}_{1}{e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{ab}=\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$$≥\frac{2ab}{ab}=2$．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．