若方程 
1
3
x3-x2-3x=b有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍為
(-9，
5
3
)
(-9，
5
3
)
．
分析：構(gòu)造f（x）=
1
3
x3-x2-3x，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后利用三個(gè)不等實(shí)根，可得b的取值范圍．
解答：解：假設(shè)f（x）=
1
3
x3-x2-3x，則f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）
∴函數(shù)在（-∞，-1），（3，+∞）上單調(diào)增，在（-1，3）上單調(diào)減
∴f（-1）=
5
3
為極大值，f（3）=-9為極小值
所以即-9＜b＜
5
3
時(shí)，函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2-3x與函數(shù)f（x）=b有三個(gè)交點(diǎn)，方程有3個(gè)不等實(shí)根
故答案為：(-9，
5
3
)．
點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查方程根問(wèn)題，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
13
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值不大于-3a，且函數(shù)G(x)=f(x)-
1
3
x3-ax2-
3
2
x在R上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
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，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：
（1）函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
對(duì)稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；
（2）計(jì)算f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+f(
4
2011
)+…+f(
2010
2011
)=
2010
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2-2a2x+1(a＞0)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x2-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•廣東模擬）已知函數(shù)f(x)=4x+ax2-
2
3
x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值組成的集合A；
（3）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+
1
3
x3的兩個(gè)非零實(shí)根為x1，x2，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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