Question

國(guó)營(yíng)二三八廠打算在2010年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t（t≥0）萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件，已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍，（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2010年該廠產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家所獲利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）由題意可知當(dāng)t=0時(shí)，x=1（萬(wàn)件），
∴1=4-k?k=3．（2分）
∴．
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×（元），（4分）
∴2010年的利潤(rùn)y=x•（1.5×）-（6+12x+t）（6分）
=3-t+6x=27-t-（t≥0）．（8分）
（2）∵t≥0時(shí)，2t+1≥1，令2t+1=m，則m≥1（12分）
∴2010年的利潤(rùn)y=27.5-≤27.5-6=21.5，當(dāng)且僅當(dāng)m=3（萬(wàn)元）時(shí)，
y_max=21.5（萬(wàn)元）．（15分）
所以當(dāng)該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．（15分）
分析：（1）由題意可知當(dāng)t=0時(shí)，x=1由滿足，即可得出k值，從而得出每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，從而得出2010年的利潤(rùn)的表達(dá)式即可；
（2）對(duì)于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項(xiàng)之積為定值結(jié)合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．