Question

設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)P在y軸上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由向量關(guān)系，得出P為MN的中點(diǎn)．設(shè)N（x，y），欲求點(diǎn)N的軌跡C的方程，只須求出x，y的關(guān)系式即可．由題中的向量關(guān)系即可得出點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值，再利用數(shù)形結(jié)合求解，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵，故P為MN的中點(diǎn)．
設(shè)N（x，y），由M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，則
又F（1，0），∴
又∵，∴
所以，點(diǎn)N的軌跡C的方程為y²=4x（x＞0）
（2）設(shè)AN的中點(diǎn)為B，垂直于x軸的直線方程為x=a，
以AN為直徑的圓交l于C，D兩點(diǎn)，CD的中點(diǎn)為H．∵，∴=
所以，令a=3，則對(duì)任意滿足條件的x，
都有|CH|²=-9+12=3（與x無關(guān)），即為定值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．