Question

已知函數f（x）=-

2x

2x+1

．
（1）用定義證明函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（2）若x∈[1，2]，求函數f（x）的值域；
（3）若g（x）=

a

2

+f(x)，且當x∈[1，2]時g（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的定義，先在所給區(qū)間上任設兩個數并確定好大小，然后通過作差法即可獲得自變量對應函數值的大小關系，由定義即可獲得問題的解答；
（2）結合（1）所證明的結論即可獲得函數在[1，2]上的單調性，從而可以求的函數在[1，2]上的最值，進而問題即可獲得解答；
（3）充分利用前兩問答結論，即可獲得g（x）=

a

2

+f(x)在[1，2]上的最值，結合恒成立的條件即可將問題轉化為實數a的不等關系，求解即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0
又2^x₁+1＞0，2^x2+1＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
∴f（x）值域為[-

4

5

，-

2

3

]．
（3）當x∈[{1，2}]時，g（x）∈[

a

2

-

4

5

，

a

2

-

2

3

]
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴

a

2

-

4

5

≥0，∴a≥

8

5

．

點評：本題考查的是函數單調性的問題．在解答的過程當中充分體現了函數單調性的定義、作差法、函數的最值以及恒成立問題．值得同學們體會和反思．