Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

5

，P（m，0）為C的長軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過P點(diǎn)斜率為

4

5

的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)m=0時(shí)，

PA

•

PB

=-

41

2

（1）求C的方程；
（2）求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）因?yàn)殡x心率為

3

5

，所以

b

a

=

4

5

．當(dāng)m=0時(shí)，l的方程為y=

4

5

x，代入：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并整理得x²=

a2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）l的方程為x=

5

4

y+m，代入

x2

25

+

y2

16

=1，得25y²+20my+8（m²-25）=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|PA|²=（x₁-m）²+y12=

41

16

y12，同理|PB|²=

41

16

y22，由此能證明|PA|²+|PB|²是定值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)殡x心率為

3

5

，所以

b

a

=

4

5

．
當(dāng)m=0時(shí)，l的方程為y=

4

5

x，
代入：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并整理得x²=

a2

2

．…（2分）
設(shè)A（x₀，y₀），則B（-x₀，-y₀），P（m，0），

PA

•

PB

=-x02-y02=-

41

25

x02=-

41

25

•

a2

2

．
又因?yàn)?span id="lkcaouv" class="MathJye">

PA

•

PB

=-

41

2

，所以a²=25，b²=16，
橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（5分）
（Ⅱ）l的方程為x=

5

4

y+m，代入

x2

25

+

y2

16

=1，
并整理得25y²+20my+8（m²-25）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|PA|²=（x₁-m）²+y12=

41

16

y12，同理|PB|²=

41

16

y22．…（8分）
則|PA|²+|PB|²=

41

16

（y12+y22）=

41

16

[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]
=

41

16

[（-

4m

5

）²-

16(m2-25)

25

]=41．
所以，|PA|²+|PB|²是定值．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段平方和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．