Question

設(shè)函數(shù).
若是函數(shù)的極值點(diǎn)，1和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，求.
若對(duì)任意，都存在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）對(duì)零點(diǎn)存在性定理的考查，借助是極值及1是零點(diǎn)建立兩個(gè)方程解出和，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)定出其單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理嘗試算出和，發(fā)現(xiàn)異號(hào)，得出零點(diǎn)所在的區(qū)間；（2）首先需要我們將兩個(gè)變量的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成常見的一個(gè)變量的不等式有解問題，然后再構(gòu)造這個(gè)不等式為函數(shù)，為了找的最小值并且讓其小于0，我們利用試根法試出，然后只要讓右零點(diǎn)在端點(diǎn)1右邊即可，解出范圍.
試題解析：(1)，∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴.∵1是函數(shù)的零點(diǎn)，得，由解得. ∴,，
令，，得；  令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，其中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024843055731.png" style="vertical-align:middle;" />，，，所以，故．
(2)令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對(duì)任意，都存在，使得成立，則在有解，令，只需存在使得即可，=，令，∵的兩個(gè)零點(diǎn)分布在左右，又∵，∴的右零點(diǎn)必須大于1，∴，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都存在，使得成立.