Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F(xiàn)為它的焦點，直線2x-y=0截拋物線C所得的弦長為

5

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（3）設過點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，交y軸于點M，若

AM

=a

AF

，

BM

=b

BF

，試問a+b是否為定值？若是，求出a+b的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線2x-y=0與知拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得4x²=2px，求出交點的橫坐標，利用直線2x-y=0截拋物線C所得的弦長為

5

，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）利用拋物線方程，可拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（3）設直線l的方程為：x=my+1，聯(lián)立方程可得：y²-4my-4=0，利用向量知識，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）直線2x-y=0與知拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得4x²=2px，
∴x=0或x=

p

2

，
∴直線2x-y=0截拋物線C所得的弦長為

1+4

•

p

2

=

5

，
∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x；
（2）拋物線C的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1；
（3）設直線l的方程為：x=my+1，
聯(lián)立方程可得：y²-4my-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
x=0時，y=-

1

m

，∴M（0，-

1

m

），
∵

AM

=a

AF

，

BM

=b

BF

，
∴（-x₁，-

1

m

-y₁）=a（1-x₁，-y₁），（-x₂，-

1

m

-y₂）=b（1-x₂，-y₂），
∴a=1+

1

my1

，b=2+

1

my2

，
∴a+b=2+

1

my1

+

1

my2

=2+

m(y1+y2)

m2y1y2

=1
故a+b為定值且定值為1．

點評：本小題主要考查等比關系的確定、向量坐標的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．