Question

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)，相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，且的最大值為2.
（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）計(jì)算；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的零點(diǎn)情況.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析（Ⅲ）

(I)根據(jù)題目給的條件可A=2，T=4，可得,再根據(jù)圖像過點(diǎn)（1，2），
可求出.從而確定f(x)的表達(dá)式進(jìn)而可求出其單調(diào)增區(qū)間.
，
由于的最大值為2且A>0，
∴ 所以即A=2
∴，又函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)則

∴
由得

∴的單調(diào)增區(qū)間是
(II)由于周期為4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.
由（Ⅰ）知，
∴的周期為4，而2012=4×503
且
∴原式
(III)解本小題的關(guān)鍵是知道
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).然后分別作出其圖像，從圖像上觀察得到結(jié)論即可.
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象(如下圖所示)，

由圖象可知:
1）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與直線無公共點(diǎn)，即函數(shù)無零點(diǎn)；
2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與
直線有一個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與
直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).