Question

（08年咸陽市二模）  如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)。E是線段BC₁上一點(diǎn)，且BE=BC₁ ．

（１）求證： GE∥側(cè)面AA₁B₁B ；

（２）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小 ．

 

Answer 1

解析：(1)延長B₁E交BC于F,  ∵ΔB₁EC∽ΔFEB,　BE＝ＥＣ_１

∴ＢＦ＝Ｂ_１Ｃ_１＝ＢＣ，從而Ｆ為ＢＣ的中點(diǎn)．　　

∵Ｇ為ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三點(diǎn)共線，且＝   ＝，∴GE∥AB₁，

又GE側(cè)面AA₁B₁B， ∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B　　　　　　

（２）在側(cè)面AA₁B₁B內(nèi)，過B₁作B₁Ｈ⊥ＡＢ，垂足為Ｈ，∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁Ｈ⊥底面ABC．又側(cè)棱AA₁與底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2，

∴∠B₁ＢＨ＝６０^０，ＢＨ＝１，B₁Ｈ＝．

在底面ABC內(nèi)，過Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足為Ｔ，連B₁Ｔ．由三垂線定理有B₁Ｔ⊥ＡＦ，

又平面B₁GE與底面ABC的交線為ＡＦ，∴∠B₁ＴＨ為所求二面角的平面角．

∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３０^０，　∴ＨＴ＝ＡＨsin30⁰＝，

在ＲｔΔB₁ＨＴ中，ｔａｎ∠B₁ＴＨ＝＝　，

從而平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan