Question

已知函數．
（1）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求證：ab＞1；
（2）是否存在實數a、b，（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域是[a，b]，值域是，若存在，則求出a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴＞0．
∴1-=-（1-），∴2=+＞2，∴＜1，∴ab＞1．
（2）由函數y=f（x）的定義域是[a，b]，值域是，
當1≤a＜b 時，可得=1-在[a，b]上是增函數，故有 1-=a，1-= b，
解得 a=，b=．
當0＜a＜b≤1時，可得=-1 在[a，b]上是減函數，故有=，=，
解得 a=，b= （不合題意舍去）．
當0＜a＜1＜b時，函數y=f（x）在定義域[a，b]上的最小值為0，根據值域是，
可得=0，a=0 （不合題意舍去）．
綜上，存在a=，b=滿足條件．
分析：（1）根據條件可得1-=-（1-），即2=+，利用基本不等式可得＜1，從而得到ab＞1．
（2）當1≤a＜b 時，可得=1-在[a，b]上是增函數，故有 1-=a，1-= b，解出a、b的值．
當0＜a＜b≤1時，可得=-1 在[a，b]上是減函數，故有=，=，解得a、b 無解．
當0＜a＜1＜b時，函數y=f（x）在定義域[a，b]上的最小值為0，根據值域是，解得a、b 無解．
點評：本題主要考查求函數的定義域、值域，帶絕對值的函數，體現了分類討論的數學思想．