Question

（2012•黔東南州一模）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，O是其內(nèi)切圓的圓心，則

OA

•

OB

=

-5

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，內(nèi)切圓半徑r=

1

2

（AC+BC-AB）=1．再以C為原點(diǎn)，CA、CB所在直線為x、y軸，建立如圖坐標(biāo)系，算出向量

OA

、

OB

坐標(biāo)，即可算出

OA

•

OB

的值．

解答：解：以C為原點(diǎn)，CA、CB所在直線為x、y軸，建立如圖坐標(biāo)系
可得A（3，0），B（0，4），
∵△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=25=AB²，得AC⊥BC
由此可得△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=

1

2

（AC+BC-AB）=1
∴內(nèi)切圓心O（1，1），
可得

OA

=（2，-1），

OB

=（-1，3）
∴

OA

•

OB

=2×（-1）+（-1）×3=-5
故答案為：-5

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，求由內(nèi)心指向兩個(gè)銳角頂點(diǎn)向量的數(shù)量積，著重考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．