Question

已知向量，=（1，sinx），f（x）=．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（）=，b=，c=，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用兩角和與差的直正弦函數公式及二倍角的余弦函數公式化簡，整理后得到一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函數的最小正周期；根據正弦函數的單調遞減區(qū)間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數的遞減區(qū)間；
（2）由（1）得出的解析式及f（）=，求出sinB的值，再由b，c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由b大于c，得到C為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出cosC的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：（1）∵向量，=（1，sinx），f（x）=．
∴f（x）=sin（2x+）+sin²x=sin2x+cos2x+（1-cos2x）=sin2x+，
∵ω=2，∴T==π，
令2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
則f（x）的單調遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（2）由（1）確定的函數解析式，可得f（）=sinB+=，
整理得：sinB=，又b=，c=，
根據正弦定理得：sinC==，
又b＞c，∴B＞C，即C為銳角，
∴cosC==，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：3=a²+5-2a，即a²-2a+2=0，
解得：a=+1或a=-1．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角函數的周期性及其求法，以及三角函數的恒等變換應用，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的單調性，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的邊角關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．