已知直線l:x=m(m<-2)與x軸交于A點(diǎn),動(dòng)圓M與直線l相切,并且與圓O:x2+y2=4相外切,

(1)求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程;

(2)若過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),問(wèn)是否存在以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

m=-6-2時(shí),以MN為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)A.


解析:

(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),則

|OM|==2+(x-m),

化簡(jiǎn)得y2=2(2-m)x+(2-m)2(m<-2),這就是動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.

(2)直線MN的方程為y=x,代入曲線C的方程得3x2-2(2-m)x-(2-m)2=0,

顯然Δ=16(2-m)2>0.

設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則x1+x2=(2-m),x1x2=-(2-m)2,

而y1y2=x1·x2=3x1x2,

若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A,則AM⊥AN,

∴kAM·kAN=-1.

由此得4x1x2-m(x1+x2)+m2=0.

∴-(2-m)2-m··(2-m)+m2=0,即m2+12m-16=0.

解得m1=-6-2,m2=-6+2(舍).

故當(dāng)m=-6-2時(shí),以MN為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)A.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

現(xiàn)有下面四個(gè)命題：
①曲線y=-x2+2x+4在點(diǎn)（1，5）處的切線的傾斜角為45°；
②已知直線l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，則α∥β；
③設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，
則f（x+1）一定是奇函數(shù)；
④如果點(diǎn)P到點(diǎn)A(
1
2
，0)，B(
1
2
，2)及直線x=-
1
2
的距離相等，那么滿足條件的點(diǎn)P有且只有1個(gè)．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•上海模擬）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的漸近線方程為y=±
3
3
x，左焦點(diǎn)為F，過(guò)A（a，0），B（0，-b）的直線為l，原點(diǎn)到直線l的距離是
3
2
．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=x+m交雙曲線于不同的兩點(diǎn)C，D，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得以CD為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F．若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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