已知橢圓E：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)長軸長是短軸長的
3
倍，且經(jīng)過點A(
3
3
，
2
)，直線x=t與橢圓E交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設Q（x，y）是圓C上的動點，當t變化時，求x的最大值．
分析：（1）根據(jù)橢圓長軸和短軸之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓過定點A(
3
3
，
2
)，得到關(guān)于a，b的二元方程組，求解a，b后即可得到答案；
（2）把直線x=t與橢圓方程聯(lián)立，求出圓的半徑，利用圓心C到y(tǒng)軸的距離小于半徑求解t的取值范圍；
（3）直接由圓的方程解出x，利用放縮法去掉y，再運用三角函數(shù)換元，最后由三角函數(shù)的值域求最值．
解答：解：（1）依題意得：a：b=
3
，且橢圓經(jīng)過點A(
3
3
，
2
)，
∴
1
3b2
+
2
a2
=1
a2=3b2
⇒a2=3，b2=1．
則橢圓E的方程為x2+
y2
3
=1；
（2）由題意知圓心C（t，0）（-1＜t＜1）．
由
x=t
x2+
y2
3
=1
⇒y2=3(1-t2)，
∴圓C的半徑為r=
3(1-t2)
．
∵圓C與y軸相交，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=|t|，
∴|t|＜
3(1-t2)
?t2＜3(1-t2)?-
3
2
＜t＜
3
2
，
即實數(shù)t的取值范圍(-
3
2
，
3
2
)；
（3）圓C的方程為（x-t）2+y2=3（1-t2）．
∵點Q（x，y）在圓C上，∴x=t±
3(1-t2)-y2
．
∵t-
3(1-t2)-y2
≤t+
3(1-t2)-y2
，
故只需求x=t+
3(1-t2)-y2
的最大值．
x=t+
3(1-t2)-y2
≤t+
3(1-t2)
（y=0時，等號成立）．
設t=cosθ，θ∈（0，π），則t+
3(1-t2)
=cosθ+
3
sinθ=2sin(θ+
π
6
)，
當θ=
π
3
，即t=
1
2
，且y=0時，x取最大值2．
點評：本題考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，解答（3）時運用換元法，體現(xiàn)了放縮思想方法，思維難度較大．該題屬高考試題中的壓軸題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)．且橢圓的焦距為4
3
，定點A(
13
2
，
3
)為橢圓上的點，點P為橢圓上的動點，過點P作y軸的垂線，垂足為P1，動點M滿足
P1M
=2
P1P

（1）求M點的軌跡T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點Q：Q是軌跡T內(nèi)部的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且△OEQ的面積S△OEQ=2？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2．設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），是橢圓上的兩點，向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
.
n
=0，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞o)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程式．

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