Question

曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0，)的距離等于它到定直線的距離.
(1)求曲線C的方程；
(2)經(jīng)過P(1,2)作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且⊥，設(shè)M是AB中點(diǎn)，問是否存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到這個(gè)定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等.若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和這條定直線的方程.若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）y=2x²；
（2）M軌跡是拋物線，故存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離。所求的定點(diǎn)為，定直線方程為y=.

試題分析：
思路分析：（1）曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0，)的距離等于它到定直線的距離.所以，由拋物線的定義，其方程為，而，所以，y=2x²；
（2）利用“參數(shù)法” 得到y(tǒng)=4x²+4x+，根據(jù)圖象的平移變換得到結(jié)論：定點(diǎn)為，定直線方程為y=.
解：（1）因?yàn)椋�利用拋物線的定義，確定得到y(tǒng)=2x²；
（2）設(shè)：y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=
由得2x²-kx+k-2=0
同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為
∴
消去k得：y=4x²+4x+ ………9分
M軌跡是拋物線，故存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離。將拋物線方程化為，此拋物線可看成是由拋物線左移個(gè)單位，上移個(gè)單位得到的，而拋物線的焦點(diǎn)為(0，)，準(zhǔn)線為y=-.∴所求的定點(diǎn)為，定直線方程為y=.
點(diǎn)評(píng)：難題，利用“直接法”可確定得到拋物線方程。利用“參數(shù)法”求得拋物線方程，通過研究焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等，達(dá)到確定“存在性”的目的。