Question

已知向量

a

=（

3

2

sinx，

1

2

cosx），

b

=（cosx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f（A）=

1

2

，a=

3

，S_△ABC=

3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）的遞增區(qū)間即可；
（2）由f（A）=

1

2

，求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinA與已知面積代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，cosA的值代入，利用完全平方公式變形，把bc的值代入計(jì)算求出b+c的值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

2

sinx，

1

2

cosx），

b

=（cosx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

2

sinxcosx+

1

2

cos²x=

3

4

sin2x+

1

4

cos2x+

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）由f（A）=

1

2

，得到

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，S_△ABC=

3

2

，
∴由三角形面積公式得：

1

2

bcsinA=

3

2

，即bc=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-6，
即（b+c）²=9，
解得：b+c=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．