Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+4x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）由題意知，由拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)可知拋物線不過(guò)原點(diǎn)即b不等于0，然后拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即令f（x）=0的根的判別式大于0即可求出b的范圍；
（2）設(shè)出圓的一般式方程，根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知：令y=0得到與f（x）=0一樣的方程；令x=0得到方程有一個(gè)根是b即可求出圓的方程；
（3）設(shè)圓的方程過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀），將其代入圓的方程得x₀²+y₀²+4x₀-y₀+b（1-y₀）=0，因?yàn)閤₀，y₀不依賴(lài)于b得取值，所以得到1-y₀=0即y₀=1，代入x₀²+y₀²+4x₀-y₀=0中即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：．（1）令x=0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是（0，b）；
令f（x）=x²+4x+b=0，由題意b≠0且△＞0，解得b＜4且b≠0．
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0這與x²+4x+b=0是同一個(gè)方程，故D=4，F(xiàn)=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一個(gè)根為b，代入得出E=-b-1．
所以圓C的方程為x²+y²+4x-（b+1）y+b=0．
（3）圓C必過(guò)定點(diǎn)，證明如下：
假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀，y₀不依賴(lài)于b），將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為x₀²+y₀²+4x₀-y₀+b（1-y₀）=0（*）
為使（*）式對(duì)所有滿(mǎn)足b＜4（b≠0）的b都成立，必須有1-y₀=0，結(jié)合（*）式得x₀²+y₀²+4x₀-y₀=0，解得

x0=0 y0=1

或

x0=-4 y0=1

經(jīng)檢驗(yàn)知，（-4，1）和（0，1）均在圓C上，因此圓C過(guò)定點(diǎn)（-4，1）和（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．是一道綜合題．