Question

兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類，如圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a₁=1，第2個(gè)五角形數(shù)記作a₂=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a₃=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若a_n=145，則n=　　．

Answer 1

考點(diǎn)：

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

根據(jù)題目所給出的五角形數(shù)的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的特點(diǎn)是，從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，寫出對應(yīng)的n﹣1個(gè)等式，然后用累加的辦法求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入項(xiàng)求項(xiàng)數(shù)．

解答：

解：a₂﹣a₁=5﹣1=4，a₃﹣a₂=12﹣5=7，a₄﹣a₃=22﹣12=10，…，由此可知數(shù)列{a_n+1﹣a_n}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列．

所以a_n+1﹣a_n=4+3（n﹣1）=3n+1．

a₂﹣a₁=3×1+1

a₃﹣a₂=3×2+1

…

a_n﹣a_n﹣1=3（n﹣1）+1

累加得：a_n﹣a₁=3（1+2+…+（n﹣1））+n﹣1

所以=1++n﹣1=．

由，解得：．

故答案為10．

點(diǎn)評：

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答此題的關(guān)鍵是能夠由數(shù)列的前幾項(xiàng)分析出數(shù)列的特點(diǎn)，即從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，本題訓(xùn)練了一種求數(shù)列通項(xiàng)的重要方法﹣﹣累加法．