已知
a
、
b
是非零向量，求證：
a
⊥
b
的充要條件是|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
分析：證明充要條件應(yīng)從兩方面入手：①證充分性②證必要性
解答：證明：先證
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
∵|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
|
a
|2+ |
b
|2+ 2
a
•
b
，
|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=
|
a
|2+ |
b
|2-2
a
•
b
，
又∵
a
⊥
b
∴
a
•
b
=0，
于是|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
再證|
a
+
b
|=|
a
-
b
|?
a
⊥
b
．
由于|
a
+
b
|=
|
a
|2+ |
b
|2+ 2
a
•
b
，|
a
-
b
|=
|
a
|2- |
b
|2-2
a
•
b

所以由|
a
+
b
|=|
a
-
b
|可得
a
•
b
=0于是
a
⊥
b

所以|
a
+
b
|=|
a
-
b
|?
a
⊥
b
，
∴
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道向量的證明題，主要考查了向量垂直和模的運(yùn)算問(wèn)題，也同時(shí)考查了充要條件的證明題的思路，是一道值得做的題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，滿足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），則λ=（　�。�
A、-1B、±1C、0D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夾角為
π
3
，則向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且滿足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角是
60
60
°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè)
u
=
a
+
tb
．
（1）當(dāng)|
u
|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）當(dāng)|
u
|取最小值時(shí)，求證
b
⊥（
a
+
b
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，則
a
，
b
應(yīng)滿足條件
 
．

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