【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , n∈N* , 已知a1=1,a2= ,a3= ,且當(dāng)n≥2時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 .
(1)求a4的值.
(2)證明:{an﹣1﹣ an}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】
(1)解:∵a1=1,a2= ,a3= ,
∴S1=1,S2= ,S3= ,
又∵4S4+5S2=8S3+S1,
∴S4= (8S3+S1﹣5S2)= (8 +1﹣5 )= ,
∴a4=S4﹣S3= ﹣ =
(2)證明:∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1,
∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn,
∴4an+2+an=4an+1,
整理得:an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2,
∴an+1﹣2an+2= (an﹣2an+1),
即an+2﹣ an+1= (an+1﹣ an),
又∵ = ﹣ =1,
∴數(shù)列{an+1﹣ an}是以1為首項(xiàng)、 為公比的等比數(shù)列
(3)解:由(2)可知an+1﹣ an= ,
∴an+1= an+ ,
∴2n+1an+1=2nan+4,
又∵2a1=2,
∴數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列,
∴2nan=2+4(n﹣1)=4n﹣2,
∴an= =
【解析】(1)通過4S4+5S2=8S3+S1 , 直接代入計(jì)算即可;(2)通過對(duì)4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1變形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn , 即4an+2+an=4an+1 , 整理得an+1﹣2an+2= (an﹣2an+1),進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論;(3)通過(2)可知an+1﹣ an= ,兩邊同時(shí)乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4,進(jìn)而數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=1﹣ (x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.
B.
C. 且m≠0
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=16及圓內(nèi)一點(diǎn)F(﹣3,0),過F任作一條弦AB.
(1)求△AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)直線AB的方程;
(2)若點(diǎn)M在x軸上,且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平方線,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對(duì)滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2 , 有|x1﹣x2|min= ,則φ=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)購為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事用戶車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問題:
①若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車,求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xm﹣ ,且f(3)= .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
(2)證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意的,都存在使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前我國城市的空氣污染越來越嚴(yán)重,空氣質(zhì)量指數(shù)一直居高不下,對(duì)人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴(yán)重的影響,現(xiàn)調(diào)查了某城市500名居民的工作場(chǎng)所和呼吸系統(tǒng)健康,得到列聯(lián)表如下:
室外工作 | 室內(nèi)工作 | 合計(jì) | |
有呼吸系統(tǒng)疾病 | 150 | ||
無呼吸系統(tǒng)疾病 | 100 | ||
合計(jì) | 200 |
(Ⅰ)請(qǐng)把列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(Ⅱ)你是否有95%的把握認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān);
(Ⅲ)現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2人,求2人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.
參考公式與臨界表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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