Question

【題目】已知函數(shù)，；.

（1）求的最大值；

（2）若對(duì)，總存在使得成立，求的取值范圍；

（3）證明不等式.

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以的最大值為；

（2）若對(duì)，總存在使得成立，則轉(zhuǎn)化為，由（1）知，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，對(duì)求導(dǎo)，，分類討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，只需滿足，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，只需滿足，，解得，當(dāng)，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，可以求出的取值范圍。

（3）由（1）知：即， 取，∴，

∴，即∴，等號(hào)右端為等比數(shù)列求和。

試題解析：（1）∵，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

∴，∴的最大值為.

（2），使得成立，等價(jià)于

由（1）知，，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒為正，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，，令，解得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

若，即時(shí)，，∴，∴.

若，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，

當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，

綜上的取值范圍為.

（3）由（1）知：即，

取，∴，∴，即

∴

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