Question

已知橢圓+y²=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸.求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).

Answer 1

答案：
解析：

證明：證法一：依題設(shè)得橢圓的半焦距c=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），EF的中點(diǎn)為N（，0）. 若AB垂直于x軸，則A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）， ∴AC中點(diǎn)為N（，0），即AC過EF中點(diǎn)N. 若AB不垂直于x軸，由直線AB過點(diǎn)F，且由BC∥x軸知點(diǎn)B不在x軸上，故直線AB的方程為y=k（x－1），k≠0. 記A（x1，y1）和B（x2，y2），則（2，y2）且x1，x2滿足二次方程+k2（x－1）2=1， 即（1+2k2）x2－4k2x+2（k2－1）=0 ∴. 又x12=2－2y12＜2，得x1－≠0，故直線AN、CN的斜率分別為 . ∴k1－k2=2k· ∵（x1－1）－（x2－1）（2x1－3）=3（x1+x2）－2x1x2－4 =［12k2－4（k2－1）－4（1+2k2）］=0， ∴k1－k2=0，即k1=k2. 故A、C、N三點(diǎn)共線. 所以，直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N. 證法二：如圖，記直線AC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥l， 點(diǎn)D是垂足，因?yàn)辄c(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線l是右準(zhǔn)線， BC∥x軸，即BC⊥l，根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，得 =e（e是橢圓的離心率）. ∵AD∥FE∥BC， ∴， 即. ∴N為EF的中點(diǎn)，即直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N.