Question

橢圓+=1（a＞b＞0）的長軸為短軸的倍，直線y=x與橢圓交于A、B兩點，C為橢圓的右頂點，•=．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩點E、F使+=λ，λ∈（0，2），求△OEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知a=b，C（a，0），設A（t，t），把A點坐標代入橢圓方程求得t，進而表示出和進而根據(jù)，•=求得a和b，橢圓方程可得．
（2）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點為M（x，y），根據(jù)+=λ的方程組，把E，F(xiàn)點坐標代入橢圓方程，兩式相減可得+y₁²-y₂²=0，進而可得直線EF的斜率，根據(jù)點斜式寫出直線EF的方程，代入橢圓方程消去x，進而根據(jù)韋達定理求出
y₁+y₂和y₁y₂進而表示出|EF|，同時表示出原點到直線EF的距離，進而根據(jù)三角形面積公式，表示出三角形OEF的面積，根據(jù)λ的范圍求得△OEF面積的最大值．
解答：解：（1）根據(jù)題意，a=b，C（a，0），
設A（t，t），則t＞0，+=1．
解得t²==b²，即t=b，
∴=（b，b），=（a，0），•=ab=b²=，
∴b=1，a=，
∴橢圓方程為+y²=1．
（2）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點為M（x，y），
∵+=λ，
∴
∵E、F在橢圓上，則
由①-②得+y₁²-y₂²=0，
∴k_EF==-×=-，
∴直線EF的方程為y-λ=-（x-λ），
即x=-3y+λ，代入+y²=1，
整理得4y²-2λy+λ²-1=0，
∴y₁+y₂=λ，y₁y₂=，
∴|EF|==|y₁-y₂|
=•=•，
又∵原點O（0，0）到直線EF的距離為h=，
∴S_△OEF=|EF|h==≤×=，
當λ=時等號成立，所以△OEF面積的最大值為．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關(guān)系．是高考中�？嫉念}型，應注意總結(jié)規(guī)律．