Question

已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，研究f（x）的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=  
∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增   
∴f（x）的極小值為f（1）=1                   
（Ⅱ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1
令h（x）=g（x）+ = + ， ，
當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增  
∴h（x）_max=h（e）= ＜ =1=|f（x）|_min     
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ；
（Ⅲ）解：假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，f′（x）= 
①當(dāng)a≤0時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae﹣1=3，∴a= （舍去），
所以，此時f（x）無最小值．
②當(dāng)0＜ ＜e時，f（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，e]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（ ）=1+lna=3，∴a=e2，滿足條件．
③當(dāng) 時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（e）=ae﹣1=3，∴a= （舍去），
所以，此時f（x）無最小值．
綜上，存在實數(shù)a=e²，使f（x）的最小值是3．