Question

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且．

(1)求證：面平面；

(2)求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，法一，先利用面面垂直的性質判斷出，從而平面，所以垂直于面內的任意的線，由，判斷是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空間向量法，通過證明，其它過程與法一相同；第二問，由第一問得到平面的法向量為，而平面的法向量需要計算求出，

，所以，最后用夾角公式求夾角余弦值.

試題解析：(1)解法一：因為面面平面面

為正方形，，平面

所以平面∴                 2分

又，所以是等腰直角三角形，

且，即 ，

，且、面，

面             

又面，∴面面.          6分

解法二：

如圖,

取的中點, 連結,.

∵,  ∴.

∵側面底面,

平面平面, 

∴平面,

而分別為的中點,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以為原點,向量為軸建立空間直線坐標系,

則有,,,,,.

∵為的中點, ∴                      2分

 (1)∵，，  ∴，

∴,從而,又,,

∴平面，而平面，

∴平面平面．                      6分

（2）由（1）知平面的法向量為，

設平面的法向量為，∵，

∴由，，可得

取，則故.

∴,

即二面角的余弦值為,        12分

考點：1.線面垂直；2.空間向量法；3.面面垂直；4.夾角公式.