在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足
3
sin2A+
3
-1
2
sin2A=cos2A，cosB=
4
5
，b=2
3
．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面積．
分析：（1）利用二倍角公式以及因式分解推出A的值，求出B的值，然后解出sinC的值．
（2）利用正弦定理求出a的值，然后求出△ABC的面積．
解答：解：（1）由
3
sin2A+
3
-1
2
sin2A=COS2A，
可得
3
sin2A+(
3
-1)sinA•cosA-cos2A=0，
即(
3
sinA-cosA)(sinA+cosA)=0．
因為sinA+cosA≠0，所以
3
sinA=cosA，
得tanA=
3
3
，故A=
π
6
．

因為A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且A=
π
6
，cosB=
4
5
，
所以C=
5π
6
-B，sinB=
3
5
，
所以sinC=sin（
5π
6
-B）=
1
2
cosB+
3
2
sinB=
1
2
×
4
5
+
3
2
×
3
5
=
4+3
3
10
．
（2）由（1）知sinA=
1
2
，sinC=
4+3
3
10
，sinB=
3
5
，
又因為b=2
3
，
所以在△ABC中，由正弦定理，得a=
bsinA
sinB
=
5
3
3
．
所以△ABC的面積S=
1
2
absinC=
1
2
×
5
3
3
×2
3
×
4+3
3
10
=
4+3
3
2
．
點評：本題是中檔題，考查正弦定理的應用，二倍角公式的應用，三角形面積的求法，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a=2bsinA．
（1）求∠B的大小；
（2）若a=3
3
，c=5，求邊b的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足
3
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=
7
，c=2，求
AB
•
AC
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，
p
=(a+c，b)，
q
=（c-a，b-c）且
p
⊥
q

（1）求A的大��；
（2）記f(B)=2sin2B+sin(2B+
π
6
)，求f（B）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•南充一模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C對邊a，b，c且a2+b2-
2
ab=c2，tanA-tanB=csc2A
①求證：2A-B=
π
2
；
②求三角形ABC三個角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：在銳角三角形ABC中，?A，B，使sinA＜cosB；命題q：?x∈R，都有x2+x+1＞0，給出下列結(jié)論：
①命題“p∧q”是真命題；           
②命題“￢p∨q”是真命題；
③命題“￢p∨￢q”是假命題；       
④命題“p∧￢q”是假命題；
其中正確結(jié)論的序號是（　　）

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