已知函數(shù)f(x)=
1
2
mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)
（1）若曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線L與C有且只有一個公共點，求m的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）存在單調減區(qū)間[a，b]，令t=b-a，求t的取值范圍．
（1）易知f（x）定義域（-1，+∞）f/(x)=mx-2+
1
x+1
，f/(0)=-1，∴k2=-1∴切線L：y=-x+1
∵切線L與C有且只有一個公共點，∴
1
2
mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數(shù)解，顯然x=0時成立．
令g(x)=
1
2
mx2-x+ln(x+1)，則g/(x)=mx-1+
1
x+1
=
mx[x-(
1
m
-1)]
x+1

①當m=1時，g′（x）≥0，函數(shù)在（-1，+∞）上單調增，x=0是方程唯一實數(shù)解；
②當m＞1時由g′（x）=0得x1=0，x2=
1
m
-1∈(-1，0），從而有x=x2是極大值點且g（x2）＞g（0）=0，又當x→-1時，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x2）內也有一解，矛盾
綜上知，m=1．
（2）∵f/(x)=
mx2+(m-2)x-1
x+1
(x＞-1)∴f′（x）＜0?mx2+（m-2）x-1＜0（x＞-1）
令h（x）=mx2+（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有兩個不等實數(shù)解a，b，即h（x）=mx2+（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集為（a，b），故存在單調減區(qū)間[a，b]，
則t=b-a=
1+
4
m2
，
∵m≥1，∴1＜
1+
4
m2
≤
5
，
∴t∈(1，
5
]
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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