Question

設(shè)f′（x）為函數(shù)f（x）的導數(shù)，對任意x∈R，都有0＜f（x）＜1且0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）求證：函數(shù)F（x）=f（x）-x有唯一零點x₀；
（Ⅱ）若數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）且x₁＞x₀，證明：x_n＞x₀（n∈N^*）且數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,函數(shù)的零點,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導說明單調(diào)性，一負一正，則有唯一的零點；（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法證明．

解答： 證明：（Ⅰ）∵F′（x）=f′（x）-1，
又∵0＜f′（x）＜1，∴F′（x）＜0．
則函數(shù)F（x）在R上為減函數(shù)，
又∵F（0）=f（0）-0＞0，
F（2）=f（2）-2＜0，
則函數(shù)F（x）=f（x）-x有唯一零點x₀．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x₀）=x₀；
∵0＜f′（x）＜1．x∈R，
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
①∵x₁＞x₀，∴f（x₁）＞f（x₀）；又∵x_n+1=f（x_n）；
即x₂＞x₀，
②假設(shè)x_n-1＞x₀，則f（x_n-1）＞f（x₀），
即x_n＞x₀．
故x_n＞x₀（n∈N^*）．
又∵x_n+1-x_n=f（x_n）-x_n=F（x_n）；
且函數(shù)F（x）在R上為減函數(shù)，又x_n＞x₀，
∴x_n+1-x_n=F（x_n）＜F（x₀）=0，
∴x_n+1＜x_n；
∴數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列．

點評：本題考查了函數(shù)導數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)學歸納法．屬于難題．