Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)的導函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）在區(qū)間上恒成立等價于當時，恒成立，利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調性求出最大值即可得解；（2）求出導數(shù)，則在區(qū)間上有兩個不同零點，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質列出不等式組求a的取值范圍，取，，判斷函數(shù)單調性驗證，分別為極大值與極小值即可；（3）題意等價于函數(shù)有兩個零點，分析函數(shù)單調性知，再根據(jù)為函數(shù)的極值點即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍，再驗證函數(shù)的兩個零點.

（1）

即當時，恒成立，

設

，

因為，所以，在上單調遞增，

所以，所以，．

（2）因為，

所以在區(qū)間上有兩個極值點的必要條件為

在區(qū)間上有兩個不同零點，

則，

當時，在上遞減，在上遞增

，，

所以存在唯一的，使得，

因為在區(qū)間大于零，在區(qū)間小于零，在區(qū)間上大于零，

所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在上遞增，

所以，分別為極大值與極小值，

所以當時函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點；

（3）因為

所以，

令，，

令，解得（舍去），.

		0	＋
	↓	極小值	↑

因為有兩個零點，

所以，①

又因為，所以②

代入①得到，

令，

所以在上遞減，因為，所以，

因為在區(qū)間上遞增，所以．

i）因為，所以，

，

令，，

所以

所以在上遞增，，所以

所以在區(qū)間上存在唯一一個零點．

ⅱ）又因為

，

且，

所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，

綜上時，的圖像與圖像有兩個不同的交點．

解法二：由

得

令，

令，．

，所以當時，，

當時，，即當時，，

當時，，

所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

所以即，

i）當時，因為

所以

取，則

所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，

ii）當時，

令，

因為，，

所以，所以在上遞增，

，所以，即

所以在區(qū)間上存在唯一一個零點，

綜上時，的圖像與圖像有兩個不同的交點.