Question

北京華欣公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售“夜鶯牌多功能”電子琴和“OK智能型”洗衣機(jī),由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量,以使得總利潤達(dá)到最大.已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力,通過調(diào)查,得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

資金	單位產(chǎn)品所需資金(百元)		月資金供應(yīng)量(百元)
	電子琴	洗衣機(jī)
成本	30	20	300
勞動(dòng)力(工資)	5	10	110
單位利潤	6	8

試問:怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量,才能使總利潤達(dá)到最大,最大利潤是多少?

Answer 1

解：設(shè)電子琴、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別為x臺(tái)、y臺(tái),利潤為p,則x、y、p適合下列條件組

(x、y≥0且x、y∈Z),

    在直角坐標(biāo)平面xOy中,作直線l₁: 30x+20y=300,l₂:5x+10y=110,那么滿足條件組的點(diǎn)的集合就是直線l₁、l₂和兩條坐標(biāo)軸所圍成的公共部分(含邊界),如圖中的陰影部分F中的整點(diǎn).轉(zhuǎn)換視角,從p=6x+8yy=-,直線l存在于斜率為-的平行直線系中,但符合條件的直線l應(yīng)具有兩個(gè)性質(zhì):一是直線必經(jīng)過陰影F部分的整點(diǎn);二是截距必須達(dá)到最大值.由于l₁、l₂的交點(diǎn)恰為整點(diǎn)M(4,9),于是過M(4,9)的直線l:6x+8y=96使總利潤p達(dá)到最大,這樣就得到這個(gè)供應(yīng)計(jì)劃的最優(yōu)解x=4,y=9.

    所以,當(dāng)月供應(yīng)量為電子琴4架,洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí),該公司可獲得最大利潤9 600元.