已知an=(1+
2
)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b
2
(a，b∈Z)，求證：a是奇數(shù)；
（2）求證：對于任意n∈N*，都存在正整數(shù)k，使得an=
k-1
+
k
．
（1）由二項式定理，得an=(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
(
2
)1+
C2n
(
2
)2+
C3n
(
2
)3+…+
Cnn
(
2
)n，
又an=a+b
2
（a，b∈Z），
∴a=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…，
∵2
C2n
+22
C4n
+…為偶數(shù)，
∴a是奇數(shù)．…（4分）
證明：（2）由（1）設(shè)an=(1+
2
)n=a+b
2
（a，b∈Z），
則(1-
2
)n=a-b
2
（a，b∈Z），…（5分）
∴a2-2b2=（a+b
2
）（a-b
2
）=(1+
2
)n•(1-
2
)n=（1-2）n，…（6分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，a2=2b2+1，存在k=a2，使得an=a+b
2
=
a2
+
2b2
=
k
+
k-1
，…（8分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，a2=2b2-1，存在k=2b2，使得an=a+b
2
=
a2
+
2b2
=
k-1
+
k
，…（9分）
綜上，對于任意n∈N*，都存在正整數(shù)k，使得an=
k-1
+
k
．   …（10分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

1、已知an+1-an-2=0，則數(shù)列{an}是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知an=(1+
2
)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b
2
(a，b∈Z)，求證：a是奇數(shù)；
（2）求證：對于任意n∈N*，都存在正整數(shù)k，使得an=
k-1
+
k
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知an=
1×2
+
2×3
+
3×4
+…+
n(n+1)
（n∈N*），用放縮法證明：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．（提示：
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
）

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