Question

如圖1，若射線OM，ON上分別存在點(diǎn)M₁，M₂與點(diǎn)N₁，N₂，則

S△OM1N1

S△OM2N2

=

OM1

OM2

•

ON1

ON2

；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點(diǎn)P₁，P₂，點(diǎn)Q₁，Q₂和點(diǎn)R₁，R₂，則類似的結(jié)論是什么？這個(gè)結(jié)論正確嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．由平面中，若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M₁，M₂與點(diǎn)N₁，N₂，則三角形面積之比為：

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1

OP2

•

OQ1

OQ2

•

OR1

OR2

（面的性質(zhì)）我們可以類比在空間中相似的體的性質(zhì)．

解答：解：類似的結(jié)論為：

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1

OP2

•

OQ1

OQ2

•

OR1

OR2

．（3分）
這個(gè)結(jié)論是正確的，證明如下：
如圖，過(guò)R₂作R₂M₂⊥平面P₂OQ₂于M₂，連OM₂．過(guò)R₁在平面OR₂M₂作R₁M₁∥R₂M₂交OM₂于M₁，
則R₁M₁⊥平面P₂OQ₂．由VO-P1Q1R1=

1

3

S△P1OQ1•R₁M₁=

1

3

•

1

2

OP₁•OQ₁•sin∠P₁OQ₁•R₁M₁
=

1

6

OP₁•OQ₁•R₁M₁•sin∠P₁OQ₁，（6分）
同理，VO-P2Q2R2=

1

6

OP₂•OQ₂•R₂M₂•sin∠P₂OQ₂．（8分）
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•R1M1

OP2•OQ2•R2M2

．（10分）
由平面幾何知識(shí)可得

R1M1

R2M2

=

OR1

OR2

．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．
∴結(jié)論正確．（14分）

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．