Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的短軸長為4，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓C的左，右焦點，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為A，△AF₁F₂的面積為2，點P（x，y），是橢圓C上的動點w．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；
（3）求PF₁+PA的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得b=2，①，設(shè)A（x，x）（x＞0），則，②結(jié)合△AF₁F₂的面積為2，有cx=2③，由①②③得a，最后寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標(biāo)，根據(jù)∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐標(biāo)求得x和y的不等式關(guān)系，求得x的范圍．
（3）過點P向橢圓右準(zhǔn)線做垂線，垂足為B，根據(jù)橢圓方程求得離心率和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義，進(jìn)而可判定當(dāng)P，A，B三點共線時有最小值，從而求得答案．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設(shè)A（x，x）（x＞0），則，②
△AF₁F₂的面積為2，∴cx=2③，
由①②③得：a=2，橢圓C的方程為：．
（2）設(shè)p（x，y），則 F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
且∠F₁PF₂是鈍角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2）²+y²+（x-2）²+y²＜32
?x²+y²＜8．
（3）橢圓 與y=x（x＞0）解得A（，），
自P作橢圓左準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，∵，
左準(zhǔn)線方程：x=-3，
∴PF₁+PA即為：（PH+PA）
當(dāng)A，P，H三點共線時，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值為|AB|，
因點A到左準(zhǔn)線的距離為：+3，
∴PF₁+PA的最小值（+3）=6+．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和解不等式，∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²，是解題關(guān)鍵，本題還考查學(xué)生的作圖能力和應(yīng)用橢圓的第一定義和第二定義來求最值的能力．屬基礎(chǔ)題．